Continuidad

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función; aunque en rigor, en un espacio métrico como en variable real, significa lo contrario, que pequeñas variaciones de la función implican que deben estar cercanos los puntos. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de  en  es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo).

 Continuidad en un Punto

Una función f es continua en un punto x₀ en el dominio de la función

si:

tal que para toda x en el dominio de la función:

Esto se puede escribir en términos de límites de la siguiente manera:

Si x₀ es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en x₀ si y sólo si . Cuando x₀ no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.

En el caso de aplicaciones de  en , y de una manera más rigurosa se dice que una función  es continua en un punto x₁ si existe f (x₁), si existe el límite de f (x) cuando x tiende hacia x₁ por la derecha, si existe el límite de f (x) cuando x tiende hacia x₁ por la izquierda, y además ambos coinciden con f (x₁).

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 

En esta sección resolvemos ejercicios del estudio de la continuidad de funciones. Para ello necesitamos determinar el dominio de las funciones (conjunto sobre el que se define la función, es decir, los valores que puede tomar la variable, x).

El siguiente nivel es la búsqueda de extremos (máximos y mínimos) de funciones mediante cálculo diferencial (criterios de las derivadas), que tratamos en otra sección.

Los ejercicios están ordenados en orden creciente de dificultad: comenzaremos con funciones básicas (polinómicas, racionales, exponenciales, raíces, valores absolutos, partes enteras, definidas por partes, logarítmicas y trigonométricas. Después, veremos funciones cuya continuidad dependerá de parámetros.

Sobre todo, en el caso de las funciones por partes (funciones a trozos), emplearemos límites laterales.

Vamos a recordar algunos conceptos que necesitaremos. Para más información, podemos encontrar el concepto de continuidad de funciones aquí.