Rolle y Valor Medio

En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante del cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor, ya que es un caso especial.

Demostración

Demostración

1) Primero se consideran dos puntos ${\displaystyle (a,f(a))\;}$ y ${\displaystyle (b,f(b))\;}$ pertenecientes al gráfico de la función. La ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos es:

${\displaystyle y=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)}$

Se define una función auxiliar:

${\displaystyle g(x)=f(x)-y=f(x)-\left[f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\right]}$

Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle en [a,b] ya que:

${\displaystyle g(a)=f(a)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(a-a)=0=g(b)=f(b)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(b-a)}$

Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a) = g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g'(c) = 0, y por tanto:

${\displaystyle 0=g'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

y así

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

que es lo que se quería demostrar.

2) Sea ${\displaystyle m_{ab}}$ la pendiente de la recta secante entre ${\displaystyle [a,b]}$, se define la ecuación punto-pendiente:

${\displaystyle y=m_{ab}x+c_{1}}$

${\displaystyle m_{ab}={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

o también,

${\displaystyle -m_{ab}x+y=c_{1}}$

De acuerdo al enunciado la función es derivable en ${\displaystyle (a,b)}$, por lo que se puede escoger algún valor ${\displaystyle x=c}$ en dicho intervalo tal que ${\displaystyle f'(c)}$ existe y es la pendiente de la recta tangente en dicho punto y por ende la recta tangente tiene la forma (punto-pendiente):

${\displaystyle y=f'(c)x+c_{2}}$

o también,

${\displaystyle -f'(c)x+y=c_{2}}$

Se observa que se llega a un sistema lineal de 2x2

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}-m_{ab}x+y=c_{1}\\-f'(c)x+y=c_{2}\end{matrix}}\right.}$

La matriz del sistema es:

${\displaystyle \mathbb {A} =\;{\begin{pmatrix}-m_{ab}&1\\-f'(c)&1\\\end{pmatrix}}}$

Y su determinante es:

${\displaystyle \det(A)=f'(c)-m_{ab}}$

Para que el sistema no tenga solución se debe cumplir det(A)=0, por lo tanto las rectas son paraleas en x=c, es decir f'(c) = m_ab

Entonces, existe al menos un punto que no da solución al sistema y además la recta tangente al mismo es paralela a la recta entre a y b, es decir:

${\displaystyle f'(c)=m_{ab}}$

o también,