Cociente

En cálculo, la regla del cociente es un método de encontrar la derivada de una función que es el cociente de dos otras funciones para las cuales existe la derivada.

La función a derivar, , puede escribirse como

y  ≠ , entonces la regla afirma que la derivada de  es igual a:

O de forma más precisa, para toda  que pertenece a algún conjunto abierto que contiene al número , con  ≠ ; y, tal que existen  y ; entonces,  también existe:

Demostración

A partir de la definición de derivada

Suponiendo que 

donde ≠ 0 y  y  son derivables.

Producto

En análisis matemático, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto, gobierna la derivación del producto de funciones derivables.

Puede declararse informalmente como "la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda" o matemáticamente:

${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,}$

O usando la notación de Leibniz:

${\displaystyle {d \over dx}(u\cdot v)=u{dv \over dx}+v{du \over dx}}$.

Razón de Cambio

Ya se ha visto que la derivada se utiliza para calcular pendientes. Pero también sirve para

determinar la razón de cambio de una variable respecto a otra, lo que le confiere utilidad

en una amplia variedad de situaciones. Algunos ejemplos son las tasas de crecimiento de

poblaciones, las tasas de producción, las tasas de flujo de un líquido, la velocidad y la

aceleración.

Un uso frecuente de la razón de cambio consiste en describir el movimiento de un objeto

que va en línea recta. En tales problemas, la recta del movimiento se suele representar en

posición horizontal o vertical, con un origen marcado en ella. Sobre tales rectas, el movi-

miento hacia la derecha (o hacia arriba) se considera de dirección positiva y el movimiento

hacia la izquierda (o hacia abajo) de dirección negativa.

La función s que representa la posición (respecto al origen) de un objeto como función

del tiempo t se denomina función de posición. Si durante cieno lapso de tiempo At el

objeto cambia su posición en una cantidad As = s(t 4 At) — s(t), entonces, empleando la

consabida fórmula:

distancia

tiempo

la velocidad media es

Cambio en distancia

Cambio en tiempo

Velocidad media.

Ejemplo:

Seno y Coseno

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Suma y Diferencia

e puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.²

Es decir,  o .

Como ejemplo consideremos la función , para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos será la derivada de la función:

Téngase presente que la derivada, teniendo en cuenta que  es una aplicación lineal en el conjunto de las funciones reales derivables

Múltiplo Constante

Cuando una función esté representada por medio de , su derivada equivale a  de la siguiente manera:

Consideremos la siguiente función: , lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:

Para obtener

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:

Entonces su derivada con res

Regla de Potencia

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe aⁿ y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero.

Demostración 

Se llama potencia a una expresión de la forma , donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente.

Exponente entero[editar]

Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:

(1)

Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas