Aprende Calculo : Cociente

En cálculo, la regla del cociente es un método de encontrar la derivada de una función que es el cociente de dos otras funciones para las cuales existe la derivada.

La función a derivar,

f(x)

, puede escribirse como

f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}

h(x)

≠

0

, entonces la regla afirma que la derivada de

g(x)/h(x)

es igual a:

{\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{{h(x)}^{2}}}.

O de forma más precisa, para toda

x

que pertenece a algún conjunto abierto que contiene al número

a

, con

h(a)

≠

0

; y, tal que existen

g'(a)

h'(a)

; entonces,

f'(a)

también existe:

f'(a)={\frac {g'(a)h(a)-g(a)h'(a)}{[h(a)]^{2}}}.

Demostración

A partir de la definición de derivada

Suponiendo que

f(x)=g(x)/h(x)

donde

h(x)

≠ 0 y

g

h

son derivables.

f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)}{h(x+\Delta x)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{\Delta x}}

=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)

=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)+g(x)h(x)}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)

=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)

=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}h(x)-g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}}{h(x)h(x+\Delta x)}}

={\frac {\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)h(x)-g(x)\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right)}{h(x)h(\lim _{\Delta x\to 0}(x+\Delta x))}}

={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}

Aprende Calculo

viernes, 2 de junio de 2017

Cociente

A partir de la definición de derivada

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