Aprende Calculo : Derivada Y Continuidad

Las funciones derivables son continuas. Si una función es derivable en x= a entonces es continua en x= a. De modo que la continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad. O el conjunto de las funciones derivables es parte de las funciones continuas.

Demostración

Es importante notar que lo recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua. Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absolutof(x)= |x| que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en x= 0. Incluso hay funciones continuas en todo

\mathbb{R}

pero no derivables en ningún punto (las funciones del movimiento browniano verifican esto con probabilidad 1). Sobre esto consultar Calculus de Spivak.

Clase de continuidad

Una función

f:\Omega \subset \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

, se dice que:

es de clase $C^{0}(\Omega )\,$ cuando es continua en todo el dominio $\Omega$ .
es de clase $C^{k}(\Omega )\,$ si está definida en todo el dominio $\Omega$ junto con sus derivadas hasta orden $k\geq 1$ y todas ellas son continuas.
es de clase $C^{\infty }(\Omega )\,$ si tiene derivadas continuas de cualquier orden. Observemos que funciones de este tipo no son nercesariamente analíticas.
Una función es de clase $C^{-1}(\Omega )\,$ si es la derivada en el sentido de las distribuciones de una función de clase $C^{0}(\Omega )\,$ .
Una función generalizada se dice de clase $C^{-k}(\Omega )\,$ si es la derivada k-ésima en el sentido de las distribuciones de una función de clase $C^{0}(\Omega )\,$ .